數(shù)學(xué)家分享10個(gè)節(jié)日腦筋急轉(zhuǎn)彎的解決方案

以下是對節(jié)日數(shù)學(xué)測驗(yàn)定于12月23日。希望你喜歡。

謎題1：你會(huì)獲得九枚外觀一模一樣的金幣。你被告知其中一枚是假幣，這枚硬幣比真幣輕。用一套老式天平秤，你需要多少次稱重才能判斷哪枚是假幣？

解決方案：你只需兩次稱重即可完成：

（1）將九枚硬幣分為三組，每組三枚，并從其中兩枚中選出相互稱重。如果其中一組比另一組更輕，那么偽幣就是這三種硬幣中的一種。如果兩組硬幣重量相同，那么假幣就在三枚未稱重的硬幣中。

（2）現(xiàn)在取有假幣的一組，稱重其中兩枚硬幣。如果其中一個(gè)較淺，那就是假的。如果重量相同，那么假幣就是第三枚。

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謎題2：你被傳送回過去，幫忙做圣誕晚餐。你的任務(wù)是烤圣誕派，但你只有兩個(gè)定時(shí)器：一個(gè)正好四分鐘，一個(gè)正好七分鐘。你怎么能準(zhǔn)確計(jì)時(shí)十分鐘？

解決方案：這個(gè)謎題有多種答案，但假設(shè)廚師想讓你盡快做好這個(gè)派，以下是做法：

- 同時(shí)啟動(dòng)兩個(gè)計(jì)時(shí)器。

- 四分鐘計(jì)時(shí)器結(jié)束后，七分鐘計(jì)時(shí)器還有三分鐘。這時(shí)，把派放進(jìn)烤箱。

- 當(dāng)七分鐘計(jì)時(shí)器剩余的三分鐘結(jié)束后，將七分鐘計(jì)時(shí)器翻轉(zhuǎn)。

- 讓七分鐘的計(jì)時(shí)器完整播放，然后立刻把派拿出來。派在烤箱里正好放了十分鐘。

謎題3：你現(xiàn)在負(fù)責(zé)分配熱紅酒，目前裝在兩個(gè)滿滿的十升桶里。廚師遞給你一瓶五升裝的瓶子和一瓶四升裝的，都是空的。他命令你每瓶裝滿三升葡萄酒，絕不浪費(fèi)一滴。你怎么能這樣？

解決方案：這里有一個(gè)11步的解決方案（見下表），記錄每個(gè)桶和每個(gè)瓶子中的熱紅酒數(shù)量。B1和B2是兩個(gè)十升桶;B5和B4分別是5升和4升瓶裝。

注：你可能找到了比我更快的解決方案，但這是我能想到的！

謎題4：假設(shè)圣誕節(jié)有100天。在n-第一天，你會(huì)收到￡n作為禮物，首日1英鎊，最后一天100英鎊不等。你能計(jì)算出你得到的總金額嗎？而不必費(fèi)力地把所有100個(gè)數(shù)字加在一起？

解決方案：當(dāng)數(shù)學(xué)老師向卡爾·弗里德里?！じ咚固岢鲞@個(gè)問題時(shí)，這位初露頭角的數(shù)學(xué)家據(jù)說做了如下計(jì)算：

設(shè) s 為前 100 位數(shù)字的和。那么我們可以寫：s = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

但我們也可以反過來寫：s = 100 + 99 + 98 + ... + 4 + 3 + 2 + 1

如果我們現(xiàn)在逐項(xiàng)垂直添加這兩個(gè)方程，我們看到左邊是 s + s = 2s。

右側(cè)，再次縱向相加，每兩項(xiàng)的和總是相同，即101（1 + 100,2 + 99，依此類推）。總共有100項(xiàng)——所以右側(cè)總和的簡單計(jì)算是100 * 101 = 10,100。

因此：2s = 10,100，s = 5,050。你總共獲得的獎(jiǎng)金是5,050英鎊。

謎題5：這里有一串圣誕節(jié)的數(shù)字。序列中的前六個(gè)分別是：9、11、10、12、9、5 ......（注：在某些版本中，第五個(gè)數(shù)字是11。）這個(gè)序列中的下一個(gè)數(shù)字是什么？

解決方案：這個(gè)順序是圣誕節(jié)12天內(nèi)連續(xù)禮物中字母的數(shù)量。所以答案是5，天鵝。以下是完整名單：

鷓鴣（9個(gè)）、斑鳩（11個(gè)）、法國母雞（10個(gè)）、鳴叫鳥（12個(gè)）、金戒指（9個(gè)，唱“golden”的11個(gè)）、鵝（5個(gè)）、天鵝（5個(gè)）、女仆（5個(gè)）、女士（6個(gè)）、領(lǐng)主（5個(gè)）、風(fēng)笛手（6個(gè)）、鼓手（8個(gè)）。

注意：這看似非數(shù)學(xué)難題，但數(shù)學(xué)——更廣義上，批判性和創(chuàng)造性思維——部分依賴于發(fā)現(xiàn)起初看似牽強(qiáng)的模式。二戰(zhàn)期間，盟軍破譯總部布萊切利園的招募部分基于解決神秘填字游戲.

謎題6：以下100條陳述中，哪一條是唯一正確的？

• 這份清單中只有一句是錯(cuò)誤的。
• 這份清單中只有兩句是錯(cuò)誤的......依此類推，直到：
• 這份清單中有99條是錯(cuò)誤的。
• 這份清單中有正好100條是假的。

解決方案：這份清單中只有第99條是真的。由于有100個(gè)命題，且第n個(gè)命題斷言列表中恰好n個(gè)命題為假，這只能在n = 99時(shí)成立。

謎題7：你和你的朋友亞瑟、鮑勃戴著紅色或綠色的圣誕帽。沒人能看到自己的帽子，但你們都能看到另外兩個(gè)。亞瑟和鮑勃的帽子都是紅色的。

你們都被告知至少有一頂帽子是紅色的。亞瑟說：“我不知道我的帽子是什么顏色?！比缓篚U勃說：“我不知道我的帽子是什么顏色。”假設(shè)你的朋友們邏輯無懈可擊，你能推斷出你的圣誕帽是什么顏色嗎？

解決方案：你的帽子一定是紅色的。如果你的帽子是綠色的，那么亞瑟和鮑勃都會(huì)看到一頂綠色和一頂紅色帽子。所以當(dāng)亞瑟說他不知道帽子的顏色時(shí)，鮑勃立刻推斷出他的帽子是紅色的。但因?yàn)轷U勃不知道自己帽子的顏色，他一定看到了兩頂紅帽子，所以你可以推斷你的帽子是紅色的。

謎題8：你的圣誕樹下有三個(gè)箱子。一個(gè)裝有兩個(gè)小禮物，一個(gè)裝兩塊煤，一個(gè)裝著一個(gè)小禮物和一塊煤。每個(gè)盒子上都有標(biāo)簽顯示里面的內(nèi)容——但標(biāo)簽混淆了，所以目前每個(gè)盒子上都有錯(cuò)了標(biāo)簽。

你被告知，你可以伸手從一個(gè)盒子里取出一個(gè)物品。你應(yīng)該選擇哪個(gè)盒子，才能切換標(biāo)簽，使每個(gè)標(biāo)簽都能正確對應(yīng)盒子的內(nèi)容？

解決方案：由于所有盒子的標(biāo)簽都不對，你知道如果你打開標(biāo)注為一個(gè)小禮物和一塊煤炭的盒子，你會(huì)看到兩個(gè)小禮物或兩塊煤炭。

假設(shè)你打開它，看到兩個(gè)小禮物。然后必須在這個(gè)盒子上貼上兩個(gè)小禮物的標(biāo)簽。而且你也知道每個(gè)盒子最初標(biāo)簽都不對，那么一份小禮物和一塊煤炭的標(biāo)簽應(yīng)該貼在現(xiàn)在標(biāo)有兩塊煤炭的盒子上。最后，這兩片煤炭標(biāo)簽屬于原本標(biāo)有兩份小禮物的盒子。

謎題9：廚房里有一升的橙汁和一升的蘋果汁。杰克往蘋果汁瓶里倒一湯匙橙汁，然后攪拌均勻?，F(xiàn)在吉爾從那瓶蘋果汁瓶里取了一湯匙液體，放回橙汁瓶里?，F(xiàn)在蘋果汁瓶里的橙汁更多了，還是橙汁瓶里的蘋果汁更多了？

解決方案：它們是一樣的。這是一個(gè)很好的“不變性”例子——這是數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的術(shù)語。

經(jīng)過大量添加果汁和攪拌，蘋果汁瓶中的橙汁量必須取代了原本蘋果汁瓶中的蘋果汁，因?yàn)槊科恳后w的量仍然是一升（保持不變）。

這個(gè)解釋初讀時(shí)可能會(huì)讓人覺得不滿意。但利用不變性的能力可以讓你推斷出這些數(shù)值必須相同，而無需計(jì)算。

謎題10：在圣誕老人的家鄉(xiāng)，所有紙幣一面印有圣誕老人或圣誕夫人的畫像，另一面印有禮物或馴鹿的圖案。一位年輕的小精靈在一張桌子上放置了四個(gè)便條，顯示以下按順序排列的圖片：

圣誕老人 | 圣誕夫人 | 現(xiàn)狀 |馴鹿現(xiàn)在，一位年長且更睿智的小精靈告訴他：“如果圣誕老人在紙條的一面，禮物就一定在另一面?！蹦贻p精靈必須翻閱哪些筆記來確認(rèn)年長精靈所說的是否屬實(shí)？

解決方案：首先，年輕的小精靈應(yīng)該翻出寫有圣誕老人的鈔票。如果對面沒有禮物，那年長的精靈就是在撒謊。接下來，年輕的小精靈應(yīng)翻出馴鹿鈔票，確認(rèn)圣誕老人不在另一面。同樣，如果圣誕老人在另一邊，年長的精靈就是在撒謊。

可能會(huì)很想把現(xiàn)在的鈔票交出來。但年長的小精靈只說“如果是圣誕老人，那就在場”，這并不意味著“如果在，那就圣誕老人”。所以，無論圣誕老人還是圣誕夫人在這張鈔票的另一面——也無關(guān)緊要，因?yàn)槟觊L的小精靈對那些鈔票沒有提起。

額外謎題解法

圣誕老人乘坐雪橇從格陵蘭以每小時(shí)30英里的速度前往北極，然后立即以每小時(shí)40英里的速度從北極返回格陵蘭。圣誕老人整個(gè)旅程的平均速度是多少？

解決方案：這個(gè)謎題或許是心理學(xué)家的一個(gè)例子丹尼爾·卡尼曼叫做《思考快與慢》。我們快速思考的系統(tǒng)可能會(huì)說“取平均值”，所以我們會(huì)猜測35英里每小時(shí)。這是合理的答案，但錯(cuò)誤。

我們那套較慢的思維系統(tǒng)——使用起來費(fèi)力，需要代數(shù)和批判性思維等工具——在這里是必需的。首先，讓我們設(shè)置一些變量：

- 設(shè)d為格陵蘭到北極點(diǎn)的距離。

- 設(shè)t?為出發(fā)旅程所耗時(shí)間。

- 設(shè) t? 為返回時(shí)間。

使用標(biāo)準(zhǔn)公式“速度=距離除以時(shí)間”，我們可以說：

30 = d/t?，40 = d/t?

重新排列這些方程，我們還知道t? = d/30，t? = d/40

因?yàn)槭フQ老人往返的距離相同，他的總行程是2D。而整個(gè)旅程的平均速度就是這個(gè)總距離除以總時(shí)間：2d/（t? + t?）

結(jié)合以上所有方法，我們可以說圣誕老人旅程的平均速度是2d/（d/30 + d/40）

現(xiàn)在，（d/30 + d/40） = （4d/120 + 3d/120） = 7d/120

所以圣誕老人的平均速度 = 2d / （7d/120） = 240/7 = 34.3

在這個(gè)方程中，'d '相抵消。這意味著我們可以在不知道距離或圣誕老人旅程所需時(shí)間的情況下，推算出旅程的平均速度。這就是代數(shù)的力量：它讓你能夠使用和作量，即使你不知道這些量是什么，也能把它們當(dāng)作占位符。

答案是圣誕老人的平均速度是每小時(shí)34.3英里。

尼爾·桑德斯數(shù)學(xué)科學(xué)系高級(jí)講師，倫敦大學(xué)圣喬治市

本文轉(zhuǎn)載自對話采用知識(shí)共享許可協(xié)議。請閱讀原文.

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